A integral de linha é um conceito matemático que permite calcular a soma dos valores de uma função ao longo de uma curva. A curva pode ser definida em um plano ou no espaço, e a função pode ser escalar ou vetorial.
Neste artigo, vamos explicar o que é a integral de linha, como calcular e como usar uma calculadora de integral para facilitar os cálculos.
O que é a integral de linha?
A integral de linha é uma generalização da integral definida, que calcula a área sob uma curva em um plano. Ela calcula a área sob uma superfície que é gerada pela função ao longo da curva. Por exemplo, se temos uma função f(x,y) que associa cada ponto do plano xy a um valor, podemos imaginar que essa função cria uma superfície tridimensional.
Se quisermos saber qual é a área sob essa superfície entre dois pontos A e B, podemos traçar uma curva C que liga esses pontos e calcular a integral de linha da função f sobre essa curva. A integral de linha pode ser interpretada como sendo a área de um cilindro vertical, cuja base é a curva C e cuja altura é dada pelos valores da função f nos pontos da curva.
Como calcular a integral de linha?
Para calcular a integral de linha, precisamos conhecer a equação da curva C, que pode ser dada na forma cartesiana ou paramétrica. A forma paramétrica é mais conveniente, pois permite expressar as coordenadas x e y da curva em função de um parâmetro t, que varia entre dois limites a e b.
Por exemplo, se temos uma curva C que é um círculo de raio r centrado na origem, podemos parametrizar a curva da seguinte forma:
x = r cos(t)
y = r sen(t)
Onde t varia entre 0 e 2π.
A partir da parametrização da curva, podemos calcular o vetor tangente à curva em cada ponto, que é dado pela derivada do vetor posição em relação ao parâmetro t. O vetor posição é o vetor que liga a origem ao ponto da curva, e tem as mesmas coordenadas x e y da curva. Por exemplo, se temos a parametrização anterior, o vetor posição é:
r(t) = (r cos(t), r sen(t))
E o vetor tangente é:
r'(t) = (-r sen(t), r cos(t))
A integral de linha da função f sobre a curva C é definida como:
[integral] f(x,y) ds = [integral] f(r(t)) |r'(t)| dt
Onde ds é o elemento de arco da curva, ou seja, o comprimento infinitesimal de um segmento da curva, e |r'(t)| é o módulo do vetor tangente, ou seja, o comprimento do vetor tangente.
Para calcular essa integral, basta substituir os valores de x e y pela parametrização da curva, calcular o módulo do vetor tangente e integrar entre os limites a e b.
Como usar uma calculadora de integral?
Uma calculadora de integral é uma ferramenta online que permite resolver integrais de forma rápida e fácil. Para usar a calculadora para resolver integrais de linha, basta seguir os seguintes passos:
- Digite a função f(x,y) que você quer integrar.
- Digite a parametrização da curva C na forma x(t) e y(t), separando as coordenadas por vírgula.
- Digite os limites de integração a e b para o parâmetro t.
- Clique em “Calcular” e veja o resultado.
Por exemplo, se quisermos calcular a integral de linha da função f(x,y) = x + y sobre o círculo C de raio 2 centrado na origem, podemos digitar na calculadora:
f(x,y) = x + y
x(t) = 2 cos(t)
y(t) = 2 sen(t)
a = 0
b = 2π
E obter o resultado:
[integral] f(x,y) ds = 0
Isso significa que a área sob a superfície f(x,y) entre os pontos A e B é zero, pois a superfície é simétrica em relação ao plano xy e os valores positivos e negativos da função se cancelam.
Conclusão
A integral de linha é um conceito importante para calcular a área sob uma superfície gerada por uma função ao longo de uma curva. Para calcular a integral de linha, é preciso parametrizar a curva e usar a fórmula da integral de linha.
Uma calculadora de integral pode ajudar a resolver integrais de linha de forma rápida e fácil, bastando digitar a função, a parametrização da curva e os limites de integração.